2027학년도 대비 자연 F형 문제집

수학Ⅰ 여러 가지 수열의 합 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

첫째항이 \(1\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{n=1}^{10} a_n = 100\)일 때, \(\sum_{n=1}^{10} \frac{2}{a_n a_{n+1}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

상수 \(a\)에 대하여 이차함수 \(f(x)\)가 \[ 9 \times \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = a \] 를 만족시킬 때, \(a\)와 \(f(7)\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열의 귀납적 정의 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

모든 항이 정수인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = \begin{cases} -2a_n + 7 & (a_n \lt 4) \\ a_n - n + 5 & (a_n \ge 4) \end{cases}\] 를 만족시킨다. \(a_6 = 11\)일 때, \(a_1\), \(a_4\), \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수의 그래프와 주기 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = a\sin bx + c (0 \le x \le \frac{2\pi}{b})\)는 \(x=\alpha\)에서 최댓값 \(10\), \(x=\beta\)에서 최솟값 \(m\)을 갖는다. \(y=f(x)\)의 그래프 위의 두 점 \(A(\alpha, 10), B(\beta, m)\)을 지나는 직선을 \(y=g(x)\)라 하자. \(\beta-\alpha = 2\pi\)이고 \(f(\frac{\pi}{3}) = 8\)일 때, 직선 \(y=g(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=\alpha, x=\beta\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b, c\)는 양수이고, \(a \lt c\)이다.)

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수학Ⅰ 실수의 거듭제곱근 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

\(2\) 이상의 자연수 \(n\)에 대하여 실수 \(a\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(f_n(a)\)라 하자. \(2f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a))\)의 값이 최소일 때, \(f_n(a) - 3f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 연속함수의 성질, 극한의 수렴 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 \[f(x) = \begin{cases} (x+5)(x-1) & (x \lt 0) \\ x-4 & (x \ge 0) \end{cases}\] 일 때, 모든 실수 \(a\)에 대하여 극한값 \(\lim_{x \to a} f(x)f(k-x)\)가 존재하도록 하는 실수 \(k\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 부정적분 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하자. 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[F(x) = x^2 f(x) - 2x^4 + ax + 1\] 이 성립할 때, \(F\left(\frac{2}{a f'(0)}\right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

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수학Ⅰ 로그함수의 그래프와 삼각형의 넓이 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

상수 \(a(a \gt 1)\)와 양수 \(t(t \gt 1)\)에 대하여 곡선 \(y=\log_a x + 3\)과 곡선 \(y=\log_{\frac{1}{a}} x + 1\)이 만나는 점을 \(A\)라 하고, 직선 \(x=t\)와 두 곡선이 만나는 점을 각각 \(B, C\)라 하자. \(\overline{AB} = \frac{10}{3}\)이고 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(\frac{16}{3}\)일 때, \(a\)와 \(t\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, 점 \(B\)와 점 \(C\)의 \(y\)좌표는 정수이다.)

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수학Ⅱ 다항함수의 극대와 극소, 미적분학 기본정리 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[4f(x) = -2x^3 + 6x + \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{1}^{1+h} \{f(t)\}^2 dt\] 를 만족시킬 때, \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 삼각함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 \(\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right) - \cos\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right) = -\frac{3}{4}\) 일 때, \(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 수열의 합 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(\sum_{n=1}^{12} \frac{3n^2+5n+2}{18n^2+30n+8}\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 수열 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

모든 항이 양수인 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n a_{n+1} = 2^{\sin \frac{n\pi}{6}}\), \(b_n b_{n+1} = 2^{\cos \frac{n\pi}{3}}\), \(c_n c_{n+1} = 2^{\tan \frac{2n-1}{4}\pi}\) 을 만족시킬 때, \(\sum_{n=1}^{100} \log_2(a_n b_n c_n)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 등비수열 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

그림과 같이 \(1 \lt k \lt 16\)인 자연수 \(k\)에 대하여 함수 \(y = |(x-1)(x-k)|\)의 그래프가 직선 \(y = m(x - 1)\)과 서로 다른 세 점에서 만난다. 세 점의 \(x\)좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 \(a_1, a_2, a_3\)이라 하자. 세 수 \(a_1, a_2, a_3\)이 이 순서대로 공비가 \(r\)인 등비수열을 이룰 때, 공비 \(r\)가 유리수가 되도록 하는 모든 자연수 \(k\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(m\)은 양수이다.)

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수학 I 로그함수의 최대와 최소 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

방정식 \(\log_5(5^x + 10) = \frac{x}{2} + \log_5 \frac{10}{25} + 2\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\frac{1}{5^\alpha} + \frac{1}{5^\beta}\)의 값을 \(m\)이라 하자. 정의역이 \(\{x \mid -\sqrt[5]{5} \le x \le -\frac{1}{125}\}\)인 함수 \(y = -\log_5(-x) + a\)의 최댓값은 \(M\)이고 최솟값이 \(m\)일 때, \(a, M, m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

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수학 II 정적분과 극값 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

양수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = (k - x)^3 + 6(k - x)^2 + 3(k - x) - 18\)이라고 하자. 닫힌구간 \([0, k]\)에서 정의된 함수 \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt\)가 열린구간 \((0, k)\)에서 극값을 갖도록 하는 \(k\)의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 정적분과 극한 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(x)\)의 최솟값은 음수이다.
(나) 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = f(2)\)가 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만나고 두 점 \(A, B\)의 \(x\)좌표의 합은 \(6\)이다.
(다) \(\lim_{x\to 5} \frac{1}{x-5} \left\{ \int_{a}^{x} |f(t)|dt - 2\int_{a}^{3} |f(t)|dt \right\} = 6\)

\(af(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

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수학 I 삼각함수와 도형 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

좌표평면 위의 점 \(A(4, 4)\)와 실수 \(m\) (\(m \gt 1\))에 대하여 점 \(A\)에서 직선 \(y = mx\)에 내린 수선의 발을 \(B\) 라 하자. 점 \(B\) 를 지나며 \(x\)축에 수직인 직선이 선분 \(OA\)와 만나는 점을 \(C\) 라 하자. 삼각형 \(ABC\) 의 넓이를 \(S(m)\), 삼각형 \(OBC\) 의 넓이를 \(T(m)\)이라 할 때, \(\lim_{m\to 1^+} \frac{S(m)}{(m-1)T(m)}\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(O\)는 원점이고, 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 \(0\)보다 크다.)

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수학 II 다항함수의 극대와 극소 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

사차함수 \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + x^2 + 8x + 9\)이고, 삼차함수 \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)이고 \(g(0) = -\frac{1}{3}\) 이다. \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \(x = a\)에서 같은 극댓값을 가질 때, 함수 \(g(x)\)의 극솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

다음 로그함수 \(y=\log_a(x-1)\ (a \gt 0,\ a\ne 1)\)의 성질에 관한 내용을 완성하시오.

1) \(a \gt 1\)일 때, \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 증가한다. \(0 \lt a \lt 1\)일 때, \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 [①] 한다.
2) \(a\)의 값에 관계없이 그래프는 점 \(([②])\)을 지난다.
3) 함수 \(y=\log_a(x-1)\)의 그래프와 함수 \(y=\) [③] 의 그래프는 \(x\)축에 대하여 대칭이다.
4) 함수 \(y=\) [④] 의 그래프는 함수 \(y=\log_a(x-1)\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(3\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(2\)만큼 평행이동한 것이다.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f\left(\frac{1}{x}\right)=-3\)
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)=3x^2-4x+2x\displaystyle\int_{0}^{2} f(t)\,dt+a\)
\(f'(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(\int_{a}^{x} f(t)dt=x^3-x^2-6x\) 를 만족시킬 때, \(f(a)\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\) 는 양수이다.)

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \[9 \times \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = a\] 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

첫째항이 \(a_1\) 이고 제 \(n\) 항까지의 합이 \(Sn=\frac{3a_1n2}{2}-\frac{1a_1n}{2}\) 인 등차수열 \({a_{n}}\) 에 대하여 \(\sum k=1 4\frac{7}{a_2ka_2k+2} =1\) 일 때, \(a_5\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a_1 \gt 0)\)

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \[f(x) = \begin{cases} 2x^2-8x & (0 \lt x \lt 4) \\[6pt] 2x^2-20x+48 & (4 \le x \le 6) \end{cases}\]
(나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+6) = f(x)\)이다.

양의 실수 \(m\)에 대하여 함수 \(g(x) = f(x) - mx\)라 할 때, 함수 \(g(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 극대 또는 극소인 모든 실수 \(\alpha\)를 작은 수부터 차례대로 나열한 것을 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n, \dots\)이라 하자. \(\alpha_4 \lt 10 \le \alpha_5\)이고 \[\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 23\]일 때, \(m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

다음 조건을 만족시키는 모든 일차 이상의 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{0}^{6} f(x)\,dx\)의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{-3/2}^{x} t f'(t)\,dt=\left(\frac{2x}{3}+1\right)\{f(x)+k\}\)이다. (단, \(k\)는 실수이다.)
(나) \(x\)에 대한 방정식 \(f(x)=m\)이 실근을 갖도록 하는 실수 \(m\)의 최솟값은 \(-9\)이다.
(다) \(f(0)\ge 0\)

다항함수 \(f(x)\)의 최고차항을 \(ax^n\) (\(n\)은 자연수, \(a\)는 \(0\)이 아닌 상수)이라 하자. 조건 (가)에서 \(\displaystyle\int_{-3/2}^{x} t f'(t)\,dt=\left(\frac{2x}{3}+1\right)\{f(x)+k\}\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하고 최고차항을 비교하면 \(n\)의 값은 [①] 이다. 한편, 조건 (나)로부터 \(k\)의 값은 [②] 이다. 조건 (다)에서 \(f(0)\ge 0\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{6} f(x)\,dx\)의 값은 \(a\)의 값이 [③] 일 때 최소이다. 따라서, \(\displaystyle\int_{0}^{6} f(x)\,dx\)의 최솟값은 [④] 이다.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

원점 \(O\)에서 점 \(A(0, 13)\)을 지나고 기울기가 음인 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, \(\overline{OH} = 5\)이다. 직선 \(l\)이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(2\sin\theta - 3\cos\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \pi\))

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \({f(x)}4-4x^2{f(x)}2-4{f(x)}2+16x^2=0\) 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 최댓값이 0이고 최솟값이 \(-2\) 일 때, 함수 \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\) 의 \(x=0\) 에서의 좌극한과 우극한을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = x^3 - mx^2 + \left(m + \dfrac{4}{3}\right)x + 5\)가 일대일 대응이 되도록 하는 모든 정수 \(m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

\(0\)이 아닌 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(a^{-3} \times \sqrt{a^4 b^{-2}} = 3\), \(a^{-1} - b^{-1} = -5\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

\(0 \lt \theta \lt \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta + \dfrac{1}{\tan\theta} = -2\)일 때, \(\dfrac{1}{\cos\theta} - \dfrac{1}{\sin\theta}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

함수
\[f(x) = \begin{cases} 2x + a^2 & (x \le -1) \\ -x + 2a + 1 & (x \gt -1) \end{cases}\]
에 대하여 함수 \(g(x) = f(x^2)f(2x-1)\)이 \(x=0\)에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 30\), \(a_{n+1} = a_n + 3pn + q\)를 만족시킨다. 두 부등식 \(a_3 \gt 0\), \(a_4 \lt 0\)을 모두 만족시키는 자연수 \(p\)와 정수 \(q\)의 순서쌍 \((p, q)\)를 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(p \gt 0\))

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

\(a \gt 1\)인 실수 \(a\)에 대해 곡선 \(y = \log_a x\)와 원 \(C : \left(x - \dfrac{5}{3}\right)^2 + y^2 = \dfrac{17}{9}\)의 두 교점을 \(P, Q\)라 하자. 선분 \(PQ\)가 원 \(C\)의 지름일 때, \(a\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

선분 \(PQ\)가 원 \(C\)의 지름이므로 선분 \(PQ\)는 원의 중심 \(\left(\dfrac{5}{3}, 0\right)\)을 지난다. 따라서 양수 \(b\)에 대해 점 \(P\)의 \(x\)좌표를 \(\dfrac{5}{3}-b\)라 할 때, 점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 [①] 이다. 점 \(P\)와 점 \(Q\)의 \(y\)좌표의 부호가 서로 반대임을 이용하면, \(b = \) [②] 이다. 따라서 점 \(Q\)의 \(y\)좌표는 [③] 이다. 점 \(Q\)는 곡선 \(y = \log_a x\)와 원 \(C\)의 교점이므로, \(a = \) [④] 이다.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

두 연속함수 \(f(x), g(x)\)가
\[\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)-4}{x-2} = 2, \quad \lim_{x \to 2} \dfrac{g(x)+2}{x-2} = -1\]
을 만족시킬 때,
\[\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)g(x)+8}{x^2-4}\]
의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

최고차항의 계수가 \(3\)인 이차함수 \(f(x)\)는 \(x=3\)에서 극값을 갖고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) = (1-x)f(x) + \int_1^x f(t)\,dt\)를 만족시킨다. 곡선 \(y = xg(x)\)와 직선 \(y = kx\)가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

곡선 \(y = |x^2 - 5x| - 5x + 9\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\)중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \((-1, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ① ], \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ② ] .

\(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ③ ] ,

\(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ④ ] 이다.

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수학Ⅱ 미분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \((k, ak^2)\)에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

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수학Ⅱ 지수와 지수방정식 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\)이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 삼각함수의 정의 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\)축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \((a, b)\) 이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(b \ne 0\))

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수학Ⅱ 수열의 합과 일반항과의 관계 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = \frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)와 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)를 만족할 때, \(\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 지수와 로그 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)의 최댓값이 2가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \ne -1\))

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수학Ⅱ 적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 속도를 각각 \(v_1(t), v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)\)이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l\), \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

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